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Wenn in der Elektrotechnik ein Stromkreis mehr als einen Pfad für den Stromfluss hat, wird der Strom auf diese Pfade aufgeteilt. Dies ist eine sehr häufige Situation in der Elektronik, insbesondere bei parallelen Widerstandsschaltungen. Ein spezielles Werkzeug, um dies zu verstehen, ist der Stromteiler. Dieses Konzept hilft uns, genau zu berechnen, wie viel Strom durch jeden Teil des Stromkreises fließt, was für die Strommessung und -steuerung in verschiedenen Anwendungen entscheidend ist.
Das Hauptmerkmal von Parallelschaltungen ist, dass die Spannung für alle angeschlossenen Pfade gleich ist, auch wenn sie unterschiedliche Zweigströme erzeugen können, die durch verschiedene Widerstandszweige fließen. Mit anderen Worten: VR1 = VR2 = VR3 ... usw. Folglich können die Zweigströme leicht bestimmt werden mit Kirchhoffs Spannungsgesetz (KVL) und natürlich das Ohm'sche Gesetz, da es nicht mehr notwendig ist, die einzelnen Widerstandsspannungen zu bestimmen. Dieses Prinzip ist grundlegend für das Verständnis der Spannungsteilerformeln und der Stromteilungsregeln.
Verstehen der grundlegenden Stromteiler-Regel
Die Stromteilungsregel ist ein sehr wichtiges Prinzip in der Schaltungsanalyse und der Elektrotechnik. Diese Regel hilft uns, den Strom in einem Zweig einer Parallelschaltung zu ermitteln. Dies geschieht, ohne dass wir zuerst die Spannung in den parallelen Zweigen berechnen müssen. Die Regel basiert auf einer einfachen Idee. Der Strom, der von einer Spannungsquelle fließt, teilt sich auf, wenn er eine Kreuzung mit mehreren Pfaden erreicht. Die Strommenge, die durch jeden Pfad fließt, hängt vom Parallelwiderstand in diesem Pfad ab. Der Pfad mit dem geringsten Widerstand erhält den meisten Strom. Der Pfad mit dem höchsten Widerstand erhält den geringsten Strom. Das liegt daran, dass Strom, wie Wasser, den Weg des geringsten Widerstands nimmt. Die Stromteilerregel gibt uns eine präzise mathematische Möglichkeit, dieses Verhalten in einem Widerstandsnetzwerk zu beschreiben.
Der Kern dieses Prinzips ergibt sich aus dem Ohmschen Gesetz und dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz (KVL). Das Ohmsche Gesetz beschreibt die Beziehung zwischen Spannung, Strom und Widerstand. Das KVL besagt, dass die Summe aller Spannungsabfälle um eine geschlossene Schleife in einem Stromkreis gleich Null sein muss. Wenn wir diese beiden Gesetze für eine Parallelschaltung kombinieren, erhalten wir die Stromteilerformel. Diese Formel ist eine Abkürzung in der Elektrotechnik. Sie spart Zeit, denn wir müssen nicht berechnen Sie die Spannung erstens. Wir können die Zweigströme direkt berechnen, wenn wir den Gesamtstrom des Stromkreises kennen, der in die Parallelkombination fließt.
Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel für einen Stromteiler mit zwei parallel geschalteten Widerständen betrachten. Wir können sie R1 und R2 nennen. Der Gesamtstrom, der durch die Parallelschaltung fließt, ist IT. Wir möchten den Strom ermitteln, der durch R1 fließt, den wir I1 nennen. Die Stromteilerregel liefert uns die Gleichung für die Stromteilung. Die Formel zur Ermittlung von I1 basiert auf dem Gesamtstrom und den Werten der beiden Widerstände. Der Strom I1 ist gleich dem Gesamtstrom IT multipliziert mit einem Bruchteil. Dieser Bruchteil setzt sich zusammen aus dem anderen Widerstand, R2, geteilt durch die Summe der beiden Widerstände, R1 plus R2. Die Formel lautet also:
Beachten Sie, dass wir, um den Strom in einem Zweig zu ermitteln, den Widerstand des anderen Zweigs im oberen Teil des Bruchs verwenden. Dies ist ein Schlüsselmerkmal der Stromteilerformel, wenn es nur zwei Pfade gibt. Das Verständnis dieses Konzepts ist entscheidend für die Analyse von parallelen Widerstandsschaltungen und der Stromverteilung in elektrischen Systemen.
Beachten Sie, dass wir, um den Strom in einem Zweig zu ermitteln, den Widerstand des anderen Zweigs im oberen Teil des Bruchs verwenden. Dies ist ein wichtiges Merkmal der Stromteilerformel, wenn es nur zwei Pfade gibt.
Anwendung der Gleichung für die Stromteilung: Beispiel Nr. 1
Lassen Sie uns an einem praktischen Beispiel sehen, wie die Stromteilerformel in der Elektrotechnik funktioniert. Stellen Sie sich eine einfache Parallelschaltung vor. Der Gesamtstrom, der in den Stromkreis fließt, IT, beträgt 10 Ampere. Dieser Versorgungsstrom wird auf zwei parallel geschaltete Widerstände aufgeteilt. Der erste Widerstand, R1, hat einen individuellen Widerstand von 20 Ohm. Der zweite Widerstand, R2, hat einen Widerstand von 30 Ohm. Unser Ziel ist es, den durch die beiden Widerstände fließenden Strom zu ermitteln, den wir I1 und I2 nennen. Wir können die Formel für die Stromaufteilung verwenden, die wir gerade gelernt haben.
Lassen Sie uns zunächst den Strom berechnen, der durch den ersten Widerstand R1 fließt. Die Formel für den Strom I1 lautet:
Wir haben alle Zahlen, die wir brauchen, um das Problem zu lösen. Der Gesamtstrom IT beträgt 10 Ampere. Der Widerstand von R1 ist 20 Ohm und der Widerstand von R2 ist 30 Ohm. Wir können diese Werte also in die Gleichung einsetzen. Die Berechnung lautet:
Die Summe der Widerstände im unteren Teil des Bruches ist 20 plus 30, was 50 Ohm entspricht. Der Bruch wird also zu 30 geteilt durch 50. Dies vereinfacht sich auf 0,6. Jetzt multiplizieren wir den Gesamtstrom mit diesem Bruchteil. Die Berechnung lautet I1=10 A⋅0.6. Daraus ergibt sich eine endgültige Antwort von 6 Ampere. Der Zweigstrom, der durch den ersten Widerstand R1 fließt, beträgt also 6 Ampere. Dies zeigt, wie die Berechnung einer einfachen Stromteilerschaltung funktioniert.
Jetzt müssen wir den Strom ermitteln, der durch den zweiten Widerstand, R2, fließt. Wir verwenden eine ähnliche Gleichung für die Stromteilung. Die Formel für den Strom I2 lautet:
Beachten Sie, dass der Widerstand des ersten Widerstands, R1, dieses Mal über dem Bruch steht. Das liegt daran, dass wir den Strom für den zweiten Zweig berechnen. Setzen wir unsere Werte in diese Formel ein. Die Berechnung lautet:
Der untere Teil des Bruches ist immer noch 50 Ohm. Der Bruch ist also 20 geteilt durch 50. Das ergibt vereinfacht 0,4. Jetzt multiplizieren wir den Gesamtstrom mit diesem Wert. Die Berechnung lautet I2=10 A⋅0.4. Daraus ergibt sich eine endgültige Antwort von 4 Ampere. Der Strom, der durch den zweiten Widerstand, R2, fließt, beträgt also 4 Ampere.
Um sicherzugehen, dass unsere Berechnungen korrekt sind, können wir unsere Arbeit anhand des Kirchhoffschen Stromgesetzes überprüfen. Dieses Spannungsgesetz besagt, dass der Gesamtstrom, der in den Knotenpunkt fließt, gleich der Summe der Ströme in den Zweigen sein muss. IT sollte also gleich I1 plus I2 sein. Wir haben herausgefunden, dass I1 6 Ampere und I2 4 Ampere beträgt. Wenn wir sie zusammenzählen, ergeben 6 Ampere plus 4 Ampere 10 Ampere. Das ist genau der Gesamtstrom, von dem wir ausgegangen sind. Dies bestätigt, dass unsere Anwendung der Stromteilerformel korrekt war. Dieses Beispiel zeigt, dass R1 einen geringeren Widerstand als R2 hat, so dass er korrekt einen größeren Anteil des Gesamtstroms erhält.
Erweiterte Stromspaltungsanalyse
Die Stromteilerregel gilt nicht nur für Schaltungen mit zwei Widerständen. Wir können sie auch für Schaltungen mit vielen parallelen Zweigen verwenden. Die allgemeine Form der Stromteilerformel ist ein wenig anders, aber sehr mächtig. Betrachten wir ein komplexeres Stromteilernetzwerk, um dies zu verstehen. Diese Schaltung hat drei parallel geschaltete Widerstände: R1, R2 und R3. Die Schaltung wird mit einer Gesamtleistung von 1,5 Kilowatt (1500 Watt) und einer Spannung von 100 Volt versorgt. Die Werte der Widerstände sind R1 = 10 Ohm, R2 = 25 Ohm und R3 = 100 Ohm. Unsere Aufgabe ist es, den individuellen Strom in jedem Zweig zu bestimmen.
Zunächst müssen wir den Gesamtstrom IT ermitteln, der von der Stromquelle fließt. Diesen Wert können wir mit der Stromformel ermitteln, P = V × IT. Wir können dies neu anordnen, um den Strom zu finden:
Wir wissen, dass die Gesamtleistung 1500 Watt und die Spannung 100 Volt beträgt. Der Gesamtstrom ist also
was 15 Ampere entspricht. Dies ist der Gesamtstrom, der auf die drei Widerstände aufgeteilt wird.
Bevor wir die allgemeine Stromteilerformel verwenden können, müssen wir den gesamten Ersatzwiderstand der Parallelschaltung ermitteln. Wir können dies REQ nennen. Die Formel für den Ersatzwiderstand von parallelen Widerständen lautet:
Wenn wir unsere Widerstandswerte einsetzen, erhalten wir
Um diese Brüche zu addieren, müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden, der 100 ist. Die Gleichung lautet also
Dies ergibt 15/100. Um REQ zu ermitteln, nehmen wir den Kehrwert dieses Ergebnisses. Also,
was ungefähr 6,67 Ohm entspricht.
Jetzt können wir das allgemeine Prinzip der Stromteilung anwenden. Die Formel zur Ermittlung des Stroms in einem einzelnen Zweig, Ix, lautet
Lassen Sie uns dies nutzen, um den Strom im ersten Zweig, I1, zu ermitteln. Die Berechnung lautet
Das ergibt folgende Werte I1=15 A⋅0.667, was uns 10 Ampere gibt.
Als nächstes berechnen wir den Strom im zweiten Zweig, I2. Die Berechnung lautet
Das ergibt folgende Werte I2=15 A⋅0.2668, was uns 4 Ampere gibt.
Schließlich berechnen wir den Strom im dritten Zweig, I3. Die Berechnung lautet
Das ergibt folgende Werte I3=15 A⋅0.0667, was uns 1 Ampere ergibt.
Lassen Sie uns unsere Arbeit überprüfen. Die Summe der Zweigströme sollte dem Gesamtstrom entsprechen. I1 + I2 + I3 sollte also 15 Ampere betragen. Wir haben 10 Ampere + 4 Ampere + 1 Ampere, was 15 Ampere entspricht. Die Zahlen stimmen perfekt überein. Dieses ausführliche Beispiel zeigt, wie Sie die Gleichung mit der Stromteilerregel für einen Stromkreis mit mehr als zwei Zweigen verwenden können. Es zeigt auch die Beziehung zwischen Spannungs- und Stromteilerkonzepten, da wir zunächst Spannung und Leistung verwendet haben, um den Gesamtstrom zu ermitteln, bevor wir ihn geteilt haben.
Eine alternative Herangehensweise: Verwendung der Leitfähigkeit in Stromteilerschaltungen
Es gibt noch eine andere Möglichkeit, über die Stromaufteilung nachzudenken und sie zu berechnen. Diese Methode verwendet das Konzept der Leitfähigkeit. Die Leitfähigkeit ist das Gegenteil von Widerstand. Er misst, wie leicht Strom durch ein Material fließen kann. Der Widerstand misst, wie sehr sich ein Material dem Stromfluss widersetzt. Das Symbol für den Leitwert ist G, und er wird als Kehrwert des Widerstands berechnet. Die Formel lautet also G = 1/R. Die Einheit für den Leitwert ist das Siemens (S).
Die Verwendung des Leitwerts kann die Formel für den Stromteiler intuitiver machen. Denken Sie daran, dass sich der Strom umgekehrt proportional zum Widerstand teilt. Das bedeutet, dass ein höherer Widerstand weniger Strom erzeugt. Wenn wir den Leitwert verwenden, ist die Beziehung direkt. Der Strom teilt sich im direkten Verhältnis zum Leitwert. Das bedeutet, dass ein Zweig mit einem höheren Leitwert auch mehr Strom erhält. Das macht Sinn, denn ein höherer Leitwert bedeutet, dass der Strom leichter fließen kann.
Die Formel für den Stromteiler mit dem Leitwert ist sehr einfach. Um den Strom in einem bestimmten Zweig, Ix, zu ermitteln, multiplizieren Sie den Gesamtstrom, IT, mit einem Bruchteil. Dieser Bruchteil ist der Leitwert dieses speziellen Zweigs, Gx, geteilt durch den Gesamtleitwert aller parallelen Zweige, GTotal. Die Formel lautet also:
Diese Version der Stromteilungsgleichung ist oft einfacher zu verwenden, insbesondere wenn Sie viele Widerstände parallel geschaltet haben. Die Berechnung des Gesamtleitwerts ist einfach. Sie addieren einfach die einzelnen Leitwerte der einzelnen Zweige: GTotal = G1 + G2 + G3 und so weiter. Das ist einfacher als die reziproke Formel, die für parallele Widerstände verwendet wird.
Lösen komplexer Schaltungen mit Leitwert: Beispiel Nr. 3
Lassen Sie uns das vorherige Problem aus Beispiel Nr. 2 erneut lösen, aber dieses Mal verwenden wir die Leitwertmethode. Dies zeigt die Stärke dieses alternativen Ansatzes und bestätigt, dass wir die gleichen Ergebnisse erhalten. Der Stromkreis hat einen Gesamtstrom, IT, von 15 Ampere. Die drei parallel geschalteten Widerstände sind R1 = 10 Ohm, R2 = 25 Ohm und R3 = 100 Ohm. Wir möchten die Ströme I1, I2 und I3 ermitteln.
Zunächst müssen wir jeden Widerstandswert in einen Leitwert umrechnen. Wir verwenden die Formel G = 1/R. Für den ersten Widerstand beträgt der Leitwert G1 1/10Ω, was 0,1 Siemens entspricht. Für den zweiten Widerstand beträgt der Leitwert G2 1/25Ω, was 0,04 Siemens entspricht. Für den dritten Widerstand beträgt der Leitwert G3 1/100Ω, was 0,01 Siemens entspricht.
Als nächstes müssen wir den Gesamtleitwert des Stromkreises, GTotal, ermitteln. Bei parallelen Komponenten addieren wir einfach die einzelnen Leitwerte zusammen. Also, GTotal = G1 + G2 + G3. Wenn wir unsere Werte einsetzen, erhalten wir GTotal = 0,1 S + 0,04 S + 0,01 S. Das ergibt einen Gesamtleitwert von 0,15 Siemens.
Jetzt sind wir bereit, die Stromteilerformel mit dem Leitwert zu verwenden:
Beginnen wir mit dem ersten Zweig, um I1 zu finden. Die Berechnung lautet
Der Bruchteil 0,1 geteilt durch 0,15 ergibt etwa 0,667. Wenn Sie dies mit 15 Ampere multiplizieren, erhalten Sie 10 Ampere. Das ist die gleiche Antwort, die wir mit der Widerstandsformel erhalten haben.
Lassen Sie uns nun den Strom für den zweiten Zweig, I2, ermitteln. Die Berechnung lautet
Der Bruchteil 0,04 geteilt durch 0,15 ergibt etwa 0,267. Multipliziert man dies mit 15 Ampere, erhält man 4 Ampere. Auch dies stimmt mit unserem vorherigen Ergebnis überein.
Schließlich ermitteln wir den Strom für den dritten Zweig, I3. Die Berechnung lautet
Der Bruchteil 0,01 geteilt durch 0,15 ergibt etwa 0,067. Multipliziert man dies mit 15 Ampere, erhält man 1 Ampere. Dieses Ergebnis stimmt auch mit dem Ergebnis aus Beispiel Nr. 2 überein. Dieses Beispiel zeigt deutlich, dass sowohl die Widerstands- als auch die Leitwertmethode genau die gleiche richtige Antwort liefert. Manche Leute finden die Leitwertmethode für Schaltungen mit vielen parallelen Pfaden einfacher, weil die Addition der Leitwerte sehr einfach ist.
Umfassende Zusammenfassung der aktuellen Teiler-Regel
Wir haben die Stromteilerregel im Detail erforscht. Diese Regel ist eine wichtige Abkürzung für die Analyse von Parallelschaltungen in der Elektrotechnik. Sie ermöglicht es uns, den Strom in einem beliebigen Zweig zu berechnen, ohne zuerst den Spannungsabfall zu ermitteln. Der Grundgedanke ist, dass der Gesamtstrom, der in ein paralleles Netzwerk fließt, auf die verfügbaren Pfade aufgeteilt wird. Das Stromverhältnis in jedem Pfad ist umgekehrt proportional zum Widerstand des jeweiligen Pfads. Ein geringerer Widerstand schafft einen leichteren Pfad, so dass er mehr Strom zieht.
Es gibt zwei Hauptformeln für die Stromteilung. Die erste, gebräuchlichere, Formel verwendet den Widerstand. Für eine Schaltung mit vielen parallelen Widerständen wird der Strom in einem bestimmten Widerstand Rx durch die Gleichung ermittelt:
Dabei ist IT der Gesamtstrom und REQ ist der gesamte Ersatzwiderstand aller parallelen Zweige. Für den speziellen Fall von nur zwei Widerständen, R1 und R2, vereinfacht sich die Formel zur Ermittlung des Stroms in R1 auf
Die zweite Formel verwendet den Leitwert, G, der der Kehrwert des Widerstands ist. Diese Formel ist oft direkter. Der Strom in einem bestimmten Zweig Gx wird durch die folgende Gleichung ermittelt
Dabei ist GTotal die Summe aller individuellen Leitwerte im parallelen Netzwerk. Dieser Ansatz funktioniert, weil der Strom direkt proportional zum Leitwert ist. Ein Pfad mit einem höheren Leitwert ist für den Strom leichter zu durchfließen, so dass er einen größeren Anteil am Gesamtstrom erhält.
Es ist auch nützlich, die Konzepte von Spannungs- und Stromteilern zu vergleichen. Sie sind Duale von einander. Die Spannungsteilerregel wird auf Serienschaltungen angewendet, um die Spannung über einer von mehreren Serienkomponenten zu ermitteln. Die Stromteilerregel wird auf Parallelschaltungen angewendet, um den Strom durch eine von mehreren parallelen Komponenten zu ermitteln. Beides sind grundlegende Werkzeuge, die sich aus dem Ohmschen Gesetz und den Kirchhoffschen Gesetzen ableiten. Die Beherrschung sowohl der Spannungsteiler- als auch der Stromteilerformel ist ein entscheidender Schritt, um die Analyse von Schaltungen zu beherrschen. Diese Regeln kommen in vielen Anwendungen vor, vom Entwurf einfacher LED-Schaltungen zur Vorspannung von Transistoren in Verstärkern und zur Entwicklung von Sensormesssystemen. Dies sind wirklich grundlegende Prinzipien der Elektronik.
